सदिश क्षेत्र का प्रवाह और परिसंचरण

रिचर्ड फेनमैन की व्याख्यान सामग्री पर आधारित

वेक्टर क्षेत्रों के संदर्भ में बिजली के नियमों का वर्णन करते समय, हमें वेक्टर क्षेत्र की गणितीय रूप से महत्वपूर्ण दो विशेषताओं का सामना करना पड़ता है: प्रवाह और परिसंचरण। यह समझना अच्छा होगा कि ये गणितीय अवधारणाएँ क्या हैं और उनका व्यावहारिक अर्थ क्या है।

प्रश्न के दूसरे भाग का तुरंत उत्तर देना आसान है क्योंकि प्रवाह और परिसंचरण की अवधारणाएँ इसके केंद्र में हैं मैक्सवेल के समीकरण, जिस पर सभी आधुनिक इलेक्ट्रोडायनामिक्स वास्तव में टिकी हुई हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय प्रेरण का नियम निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: एक बंद लूप C के साथ विद्युत क्षेत्र E का संचलन चुंबकीय क्षेत्र B के प्रवाह के परिवर्तन की दर के बराबर होता है, जो सतह S से घिरा होता है। लूप बी.

निम्नलिखित में, हम स्पष्ट द्रव उदाहरणों का उपयोग करते हुए, काफी सरलता से वर्णन करेंगे कि क्षेत्र की विशेषताओं को गणितीय रूप से कैसे निर्धारित किया जाता है, जिससे ये क्षेत्र विशेषताएँ ली और प्राप्त की जाती हैं।

वेक्टर क्षेत्र प्रवाह

आरंभ करने के लिए, आइए अध्ययन के तहत क्षेत्र के चारों ओर पूरी तरह से मनमाने आकार की एक निश्चित बंद सतह बनाएं। इस सतह का चित्रण करने के बाद, हम पूछते हैं कि क्या अध्ययन की वस्तु, जिसे हम क्षेत्र कहते हैं, इस बंद सतह से बहती है। यह समझने के लिए कि यह सब क्या है, एक साधारण तरल उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि हम एक निश्चित द्रव के वेग क्षेत्र की जांच कर रहे हैं। इस तरह के एक उदाहरण के लिए, यह पूछना समझ में आता है: क्या इस सतह से प्रति इकाई समय में अधिक तरल पदार्थ इस सतह से बंधे आयतन में प्रवाहित होता है? दूसरे शब्दों में, क्या बहिर्वाह दर हमेशा मुख्य रूप से अंदर से बाहर की ओर निर्देशित होती है?

अभिव्यक्ति "वेक्टर फील्ड फ्लक्स" (और हमारे उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति "द्रव वेग प्रवाह" अधिक सटीक होगा), हम काल्पनिक तरल पदार्थ की कुल मात्रा को नाम देने के लिए सहमत होंगे जो दिए गए आयतन की सतह से होकर बहती है। बंद सतह (द्रव प्रवाह दर के लिए, प्रति यूनिट समय मात्रा से कितना द्रव अनुसरण करता है)।

नतीजतन, सतह तत्व के माध्यम से प्रवाह वेग के लंबवत घटक द्वारा सतह तत्व के क्षेत्र के उत्पाद के बराबर होगा। फिर पूरी सतह पर कुल (कुल) प्रवाह वेग के औसत सामान्य घटक के उत्पाद के बराबर होगा, जिसे हम कुल सतह क्षेत्र द्वारा अंदर से बाहर की ओर गिनेंगे।

अब वापस विद्युत क्षेत्र में। विद्युत क्षेत्र, निश्चित रूप से, कुछ तरल के प्रवाह के वेग को नहीं माना जा सकता है, लेकिन हम प्रवाह की गणितीय अवधारणा को पेश करने के हकदार हैं, जैसा कि हमने ऊपर तरल के वेग के प्रवाह के रूप में वर्णित किया है।

केवल एक विद्युत क्षेत्र के मामले में, इसका प्रवाह विद्युत क्षेत्र की ताकत ई के औसत सामान्य घटक द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। इसके अलावा, विद्युत क्षेत्र के प्रवाह को एक बंद सतह के माध्यम से नहीं, बल्कि किसी भी बाध्य सतह के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है। अशून्य क्षेत्र का एस।

एक वेक्टर क्षेत्र का परिसंचरण

यह सभी के लिए अच्छी तरह से जाना जाता है कि, अधिक स्पष्टता के लिए, क्षेत्रों को बल की तथाकथित रेखाओं के रूप में चित्रित किया जा सकता है, प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा की दिशा क्षेत्र की ताकत की दिशा के साथ मेल खाती है।

आइए द्रव सादृश्य पर वापस जाएं और द्रव के वेग क्षेत्र की कल्पना करें। आइए अपने आप से एक प्रश्न पूछें: क्या द्रव परिचालित हो रहा है? यही है, क्या यह मुख्य रूप से किसी काल्पनिक बंद लूप की दिशा में चलता है?

अधिक स्पष्टता के लिए, कल्पना करें कि एक बड़े कंटेनर में तरल किसी तरह चल रहा है (चित्र। ए) और हम अचानक इसकी लगभग सभी मात्रा को जम गए, लेकिन मात्रा को एक समान रूप से बंद ट्यूब के रूप में अपरिवर्तित छोड़ने में कामयाब रहे जिसमें कोई नहीं है दीवारों पर तरल का घर्षण (चित्र। बी)।

इस ट्यूब के बाहर, तरल बर्फ में बदल गया है और इसलिए अब आगे नहीं बढ़ सकता है, लेकिन ट्यूब के अंदर तरल अपने आंदोलन को जारी रखने में सक्षम है, बशर्ते कि एक प्रचलित संवेग हो जो इसे चलाता है, उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त दिशा में (चित्र। डिग्री सेल्सियस)। फिर ट्यूब में द्रव वेग और ट्यूब की लंबाई के उत्पाद को द्रव वेग परिसंचरण कहा जाएगा।

इसी तरह, हम एक सदिश क्षेत्र के लिए संचलन को परिभाषित कर सकते हैं, हालाँकि फिर से क्षेत्र को किसी भी चीज़ का वेग नहीं कहा जा सकता है, फिर भी हम एक समोच्च के साथ "परिसंचरण" की गणितीय विशेषता को परिभाषित कर सकते हैं।

तो, एक काल्पनिक बंद लूप के साथ एक सदिश क्षेत्र के संचलन को पाश की लंबाई से पाश के पारित होने की दिशा में सदिश के औसत स्पर्शरेखा घटक के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।