तर्क के बीजगणित के मूल सिद्धांत और नियम
19वीं शताब्दी के मध्य के आयरिश गणितज्ञ जॉर्ज बुल तर्क का बीजगणित विकसित किया ("सोच के नियमों का अध्ययन")। इसलिए तर्क का बीजगणित भी कहा जाता है बूलियन बीजगणित.
अक्षर पदनाम देकर, क्रिया प्रतीकों में तार्किक परिवर्तनों के संचालन को व्यक्त करते हुए, और इन क्रियाओं के लिए स्थापित नियमों और स्वयंसिद्धों का उपयोग करते हुए, तर्क का बीजगणित कथन तर्क के संदर्भ में दी गई समस्या को हल करने में तर्क प्रक्रिया को एल्गोरिदम में पूरी तरह से वर्णित करने की अनुमति देता है। , अर्थात्, इस समस्या को हल करने के लिए गणितीय रूप से लिखित प्रोग्राम होना।
कथनों की सत्यता या असत्यता को निरूपित करने के लिए (अर्थात, कथनों के मूल्यांकन के लिए मूल्यों का परिचय देने के लिए), तर्क का बीजगणित एक द्विआधारी प्रणाली का उपयोग करता है, जो इस मामले में सुविधाजनक है। यदि कथन सत्य है, तो यह मान 1 लेता है, यदि यह गलत है, तो यह मान 0 लेता है। बाइनरी संख्याओं के विपरीत, तार्किक 1s और 0s मात्रा नहीं, बल्कि एक अवस्था व्यक्त करते हैं।
तो, बूलियन बीजगणित का उपयोग करके वर्णित विद्युत परिपथों में, जहां 1 वोल्टेज की उपस्थिति है और 0 इसकी अनुपस्थिति है, सर्किट के एक नोड के लिए कई स्रोतों से वोल्टेज की आपूर्ति (अर्थात, इसकी कई तार्किक इकाइयों का आगमन) है एक तार्किक इकाई के रूप में भी दिखाता है जो नोड पर कुल वोल्टेज नहीं, बल्कि केवल इसकी उपस्थिति को इंगित करता है।
लॉजिक सर्किट के इनपुट और आउटपुट सिग्नल का वर्णन करते समय, वेरिएबल्स का उपयोग किया जाता है जो केवल तार्किक 0 या 1 के मान लेते हैं। इनपुट पर आउटपुट सिग्नल की निर्भरता निर्धारित की जाती है तार्किक संचालन (फ़ंक्शन)…आइए हम इनपुट चरों को X1 और X2 से निरूपित करते हैं, और उन पर एक तार्किक संक्रिया द्वारा प्राप्त आउटपुट को y से निरूपित करते हैं।
इस पर विचार तीन बुनियादी प्राथमिक तार्किक संचालन, जिसकी सहायता से उत्तरोत्तर जटिल का वर्णन किया जा सकता है।
1. या ऑपरेशन - तार्किक जोड़:
चर के सभी संभावित मूल्यों को देखते हुए, OR ऑपरेशन को आउटपुट में एक का उत्पादन करने के लिए इनपुट में कम से कम एक इकाई की पर्याप्तता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। ऑपरेशन के नाम को संघ के शब्दार्थ अर्थ या वाक्यांश द्वारा समझाया गया है: «यदि एक इनपुट है या दूसरा एक है, तो आउटपुट एक है।»
2. संक्रिया और — तार्किक गुणन:
चर के मूल्यों के पूर्ण सेट पर विचार करने से, AND ऑपरेशन को आउटपुट पर एक प्राप्त करने के लिए इनपुट पर सभी का मिलान करने की आवश्यकता के रूप में परिभाषित किया गया है: “यदि AND एक इनपुट है और दूसरा एक है, तो आउटपुट एक है। «
3. ऑपरेशन नहीं - तार्किक निषेध या उलटा। यह चर के ऊपर एक बार द्वारा दर्शाया गया है।
उलटे होने पर, चर का मान उलट जाता है।
तार्किक बीजगणित के मूल नियम:
1. शून्य सेट का नियम: अन्य चर के मूल्यों की परवाह किए बिना, किसी भी चर के शून्य होने पर किसी भी संख्या के चर का उत्पाद गायब हो जाता है:
2. सार्वत्रिक समुच्चय का नियम - चरों की किसी भी संख्या का योग एक हो जाता है यदि कम से कम एक चर का मान एक हो, अन्य चरों की परवाह किए बिना:
3. पुनरावृत्ति का नियम - अभिव्यक्ति में दोहराए गए चर को छोड़ा जा सकता है (दूसरे शब्दों में, बूलियन बीजगणित में संख्यात्मक गुणांक द्वारा कोई घातांक और गुणन नहीं है):
4. दोहरे व्युत्क्रमण का नियम - उलटा दो बार किया गया एक खाली ऑपरेशन है:
5. पूरकता का नियम - प्रत्येक चर और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल शून्य है:
6. प्रत्येक चर और उसके व्युत्क्रम का योग एक होता है:
7. सुरक्षात्मक कानून - गुणन और जोड़ संचालन करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें चर अनुसरण करते हैं:
8. संयुक्त कानून - गुणन और जोड़ संचालन के दौरान, चर को किसी भी क्रम में समूहीकृत किया जा सकता है:
9. वितरण कानून - कुल गुणांक को कोष्ठक के बाहर रखने की अनुमति है:
10. अवशोषण के नियम - सभी कारकों और शर्तों में एक चर को शामिल करने वाले भावों को सरल बनाने के तरीके इंगित करें:
11. डी मॉर्गन के नियम - उत्पाद का व्युत्क्रम चरों के व्युत्क्रमों का योग है:
राशि का व्युत्क्रम चरों के व्युत्क्रम का उत्पाद है:
