संपर्क सर्किट बीजगणित के नियम, बूलियन बीजगणित

रिले सर्किट की संरचना और परिचालन स्थितियों का एक विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड सर्किट के विश्लेषणात्मक समतुल्य परिवर्तनों को पूरा करना संभव बनाता है, अर्थात संरचनात्मक सूत्रों को बदलकर, उनके संचालन में समान योजनाओं को ढूंढकर। संपर्क सर्किट व्यक्त करने वाले संरचनात्मक सूत्रों के लिए रूपांतरण विधियां विशेष रूप से पूरी तरह से विकसित हैं।

संपर्क सर्किट के लिए, तर्क के बीजगणित के गणितीय उपकरण का उपयोग किया जाता है, अधिक सटीक रूप से, इसकी सबसे सरल किस्मों में से एक, जिसे प्रस्ताव कलन या बूलियन बीजगणित कहा जाता है (पिछली शताब्दी के गणितज्ञ जे बूले के बाद)।

प्रस्तावपरक कलन मूल रूप से निर्भरता का अध्ययन करने के लिए विकसित किया गया था (सच्चाई पर जटिल निर्णयों की सत्यता या असत्यता या उन्हें बनाने वाले सरल प्रस्तावों की असत्यता। संक्षेप में, प्रस्तावपरक कलन दो संख्याओं का एक बीजगणित है, जो कि एक बीजगणित है। जिसमें प्रत्येक व्यक्तिगत तर्क और प्रत्येक फ़ंक्शन में दो में से एक मान हो सकता है।

यह संपर्क सर्किट को बदलने के लिए बूलियन बीजगणित का उपयोग करने की संभावना को निर्धारित करता है, क्योंकि संरचनात्मक सूत्र में शामिल प्रत्येक तर्क (संपर्क) केवल दो मान ले सकता है, अर्थात यह बंद या खुला हो सकता है, और संपूर्ण कार्य संरचनात्मक द्वारा दर्शाया गया है सूत्र या तो बंद या खुले लूप को व्यक्त कर सकता है।

बूलियन बीजगणित परिचय:

1) वस्तुएं, जिनके नाम सामान्य बीजगणित में होते हैं: स्वतंत्र चर और कार्य - हालांकि, साधारण बीजगणित के विपरीत, बूलियन बीजगणित में दोनों केवल दो मान ले सकते हैं: 0 और 1;

2) बुनियादी तर्क संचालन:

• तार्किक जोड़ (या संयोजन, तार्किक OR, चिह्न द्वारा निरूपित?), जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: ऑपरेशन का परिणाम 0 है यदि और केवल अगर ऑपरेशन के सभी तर्क 0 के बराबर हैं, अन्यथा परिणाम 1 है;

• तार्किक गुणन (या संयोजन, तार्किक और, द्वारा चिह्नित?, या बिल्कुल निर्दिष्ट नहीं) जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: ऑपरेशन का परिणाम 1 है यदि और केवल अगर ऑपरेशन के सभी तर्क 1 के बराबर हैं, अन्यथा परिणाम 0 है;

• निषेध (या इसके विपरीत, तार्किक नहीं, तर्क के ऊपर एक बार द्वारा इंगित), जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: ऑपरेशन के परिणाम में तर्क का विपरीत मान होता है;

3) स्वयंसिद्ध (बुलियन बीजगणित के नियम), जो तार्किक भावों को बदलने के नियमों को परिभाषित करते हैं।

ध्यान दें कि प्रत्येक तार्किक संचालन को चर और कार्यों दोनों पर निष्पादित किया जा सकता है, जिसे नीचे बूलियन फ़ंक्शन कहा जाएगा... याद रखें कि, साधारण बीजगणित के अनुरूप, बूलियन बीजगणित में, तार्किक गुणन के संचालन में तार्किक पर पूर्वता होती है। अतिरिक्त ऑपरेशन।

बूलियन अभिव्यक्तियाँ कई वस्तुओं (चर या कार्यों) पर तार्किक संचालन के संयोजन से बनती हैं, जिन्हें ऑपरेशन के तर्क कहा जाता है।

बूलियन बीजगणित के नियमों का उपयोग करते हुए तार्किक अभिव्यक्तियों का परिवर्तन आमतौर पर न्यूनतम करने के उद्देश्य से किया जाता है, क्योंकि अभिव्यक्ति जितनी सरल होती है, तर्क श्रृंखला की जटिलता उतनी ही कम होती है, जो तार्किक अभिव्यक्ति का तकनीकी कार्यान्वयन है।

बूलियन बीजगणित के नियमों को सिद्धांतों और परिणामों के एक सेट के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। वेरिएबल्स के विभिन्न मानों को प्रतिस्थापित करके इन्हें काफी सरलता से चेक किया जा सकता है।

बूलियन फ़ंक्शन के लिए किसी भी तार्किक अभिव्यक्ति का तकनीकी एनालॉग एक तर्क आरेख है। इस मामले में, वे चर जिन पर बूलियन फ़ंक्शन निर्भर करता है, इस सर्किट के बाहरी इनपुट से जुड़े होते हैं, बूलियन फ़ंक्शन का मान बनता है सर्किट का बाहरी आउटपुट, और तार्किक अभिव्यक्ति में प्रत्येक तार्किक संचालन एक तार्किक तत्व द्वारा कार्यान्वित किया जाता है।

इस प्रकार, लॉजिक सर्किट के आउटपुट पर इनपुट सिग्नल के प्रत्येक सेट के लिए, एक सिग्नल उत्पन्न होता है जो चर के इस सेट के बूलियन फ़ंक्शन के मान से मेल खाता है (आगे, हम निम्नलिखित कन्वेंशन का उपयोग करेंगे: 0 - निम्न सिग्नल स्तर , 1 - सिग्नल का उच्च स्तर)।

लॉजिक सर्किट का निर्माण करते समय, हम मान लेंगे कि वेरिएबल्स को पैराफेज़ कोड में इनपुट के लिए खिलाया जाता है (यानी, वेरिएबल्स के प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम दोनों मान उपलब्ध हैं)।

तालिका 1 GOST 2.743-91 के साथ-साथ उनके विदेशी समकक्षों के अनुसार कुछ तर्क तत्वों के पारंपरिक ग्राफिक पदनामों को दर्शाता है।

टैब में बूलियन बीजगणित (AND, OR, NOT) के तीन संचालन करने वाले तत्वों के अलावा। 1 उन तत्वों को दिखाता है जो मुख्य से प्राप्त संचालन करते हैं:

— AND -NOT — तार्किक गुणन का निषेध, जिसे शेफर चाल भी कहा जाता है (द्वारा चिह्नित |)

— या -NOT — तार्किक पूरक का निषेध, जिसे पियर्स का तीर भी कहा जाता है (द्वारा चिह्नित?)

लॉजिक गेट्स को एक साथ क्रमिक रूप से जोड़कर, आप किसी भी बूलियन फ़ंक्शन को लागू कर सकते हैं।

सामान्य रूप से रिले सर्किट को व्यक्त करने वाले संरचनात्मक सूत्र, अर्थात्, प्रतिक्रिया करने वाले ईगल्स के प्रतीकों को केवल बंद या खुले सर्किट को व्यक्त करने वाले दो मूल्यों के कार्यों के रूप में नहीं माना जा सकता है। इसलिए, ऐसे कार्यों के साथ काम करते समय, कई नई निर्भरताएँ उत्पन्न होती हैं जो बूलियन बीजगणित की सीमा से परे जाती हैं।

बूलियन बीजगणित में, बुनियादी कानूनों के चार जोड़े हैं: दो विस्थापन, दो संयोजी, दो वितरणात्मक, और दो कानूनी व्युत्क्रम। ये नियम विभिन्न व्यंजकों की तुल्यता स्थापित करते हैं, अर्थात् वे ऐसे व्यंजकों पर विचार करते हैं जिन्हें साधारण बीजगणित में सर्वसमिकाओं के प्रतिस्थापन की तरह एक दूसरे के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है। एक तुल्यता प्रतीक के रूप में हम उस प्रतीक को लेते हैं जो साधारण बीजगणित (=) में समानता के प्रतीक के समान है।

संपर्क परिपथों के लिए बूलियन बीजगणित के नियमों की वैधता समतुल्य भावों के बाएँ और दाएँ पक्षों के संगत परिपथों पर विचार करके स्थापित की जाएगी।

यात्रा कानून

जोड़ने के लिए: x + y = y + x

इन भावों के अनुरूप आरेख चित्र में दिखाए गए हैं। 1, ए।

बाएँ और दाएँ सर्किट सामान्य रूप से खुले सर्किट होते हैं, जिनमें से प्रत्येक तब बंद हो जाता है जब कोई एक तत्व (X या Y) ट्रिगर होता है, यानी ये सर्किट समतुल्य होते हैं। गुणन के लिए: x ·y = y ·NS.

इन भावों के अनुरूप आरेख चित्र में दिखाए गए हैं। 1b, उनकी समानता भी स्पष्ट है।

चावल। 1

संयोजन के नियम

जोड़ने के लिए: (x + y) + z = x + (y + z)

गुणन के लिए: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

इन व्यंजकों के संगत समतुल्य परिपथों के जोड़े चित्र में दिखाए गए हैं। 2, ए, बी

चावल। 2

वितरण कानून

गुणन बनाम जोड़: (x + y) +z = x + (y + z)

जोड़ बनाम गुणन। एक्स · वाई + जेड = (एक्स + जेड) · (वाई + जेड)

इन भावों के अनुरूप आरेख चित्र में दिखाए गए हैं। 3, ए, बी।

चावल। 3.

संपर्क सक्रियण के विभिन्न संयोजनों पर विचार करके इन योजनाओं की समानता को आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।

व्युत्क्रम के नियम

इसके अतिरिक्त: एनएस + सी = एनएस·सी

अभिव्यक्ति के बाईं ओर ऊपर की पट्टी एक निषेध या उलटा चिह्न है। यह चिन्ह इंगित करता है कि नकारात्मक चिह्न के नीचे अभिव्यक्ति के संबंध में पूरे कार्य का विपरीत अर्थ है। संपूर्ण व्युत्क्रम फलन के अनुरूप रेखाचित्र बनाना संभव नहीं है। लेकिन ऋणात्मक चिह्न के अंतर्गत व्यंजक के संगत रेखाचित्र बना सकते हैं। इस प्रकार, सूत्र को चित्र में दिखाए गए आरेखों के साथ चित्रित किया जा सकता है। 4, ए।

चावल। 4.

बायाँ आरेख अभिव्यक्ति x + y से मेल खाता है, और दायाँ एक NS ·c से मेल खाता है

ये दो सर्किट ऑपरेशन में एक-दूसरे के विपरीत हैं, अर्थात्: यदि बायाँ सर्किट बिना एक्साइटेड एलिमेंट्स X, Y के ओपन सर्किट है, तो राइट सर्किट बंद है। यदि बाएं सर्किट में, जब तत्वों में से एक को चालू किया जाता है, तो सर्किट बंद हो जाता है, और दाएं सर्किट में, इसके विपरीत, यह खुल जाता है।

चूँकि, ऋणात्मक चिह्न की परिभाषा के अनुसार फलन x + y, फलन x + y का व्युत्क्रम है, तो यह स्पष्ट है कि x + y = NS·in.

गुणन के संबंध में: एनएस · सी = एनएस + सी

संबंधित योजनाओं को अंजीर में दिखाया गया है। 4, बी।

ट्रांसलोकेटिव और कॉम्बिनेशन और कानून और जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण कानून (साधारण बीजगणित के समान कानूनों के अनुरूप)।इसलिए, शब्दों के जोड़ और गुणन के क्रम में संरचनात्मक सूत्रों के परिवर्तन के मामले में, कोष्ठक के बाहर शब्दों की नियुक्ति और कोष्ठक के विस्तार के मामले में, आप साधारण बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए स्थापित नियमों का पालन कर सकते हैं। गुणन के संबंध में योग का वितरण नियम और व्युत्क्रम के नियम बूलियन बीजगणित के लिए विशिष्ट हैं।