प्रत्यावर्ती धारा को प्रदर्शित करने के ग्राफिकल तरीके

त्रिकोणमिति के मूल तथ्य

एसी सीखना बहुत मुश्किल है अगर छात्र ने त्रिकोणमिति की बुनियादी जानकारी में महारत हासिल नहीं की है। इसलिए त्रिकोणमिति के मूल प्रावधान, जिनकी भविष्य में आवश्यकता पड़ सकती है, हम इस लेख के आरंभ में दे रहे हैं।

यह ज्ञात है कि ज्यामिति में यह प्रथागत है, जब एक समकोण त्रिभुज पर विचार किया जाता है, तो समकोण के विपरीत भुजा को कर्ण कहा जाता है। समकोण पर संलग्न भुजाओं को पैर कहा जाता है। एक समकोण 90° होता है। इस प्रकार अंजीर में। 1, कर्ण O अक्षरों द्वारा इंगित पक्ष है, पैर भुजाएँ ab और aO हैं।

चित्र में, यह ध्यान दिया गया है कि समकोण 90 ° है, त्रिभुज के अन्य दो कोण तीव्र हैं और अक्षर α (अल्फा) और β (बीटा) द्वारा दर्शाए गए हैं।

यदि आप एक निश्चित पैमाने पर त्रिभुज की भुजाओं को मापते हैं और कोण α के विपरीत पैर के आकार का अनुपात कर्ण के मान से लेते हैं, तो इस अनुपात को कोण α की ज्या कहा जाता है। एक कोण की ज्या को आमतौर पर पाप α द्वारा निरूपित किया जाता है। इसलिए, समकोण त्रिभुज में हम विचार कर रहे हैं, कोण की ज्या है:

यदि आप कर्ण के न्यूनकोण α से सटे पैर aO का मान लेकर अनुपात बनाते हैं, तो इस अनुपात को कोण α का कोसाइन कहा जाता है। कोण के कोसाइन को आमतौर पर निम्नानुसार दर्शाया जाता है: cos α . इस प्रकार, कोण a का कोज्या इसके बराबर है:

चावल। 1. समकोण त्रिभुज।

कोण α के साइन और कोसाइन को जानने के बाद, आप पैरों का आकार निर्धारित कर सकते हैं। यदि हम कर्ण O के मान को sin α से गुणा करें, तो हमें पाद ab प्राप्त होता है। कर्ण को cos α से गुणा करने पर हमें पाद Oa प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि कोण अल्फा स्थिर नहीं रहता है, लेकिन धीरे-धीरे बदलता है, बढ़ता है। जब कोण शून्य होता है, तो उसकी ज्या भी शून्य होती है, क्योंकि पाद कोण के विपरीत क्षेत्र शून्य होता है।

जैसे-जैसे कोण a बढ़ता है, उसकी ज्या भी बढ़ने लगती है। साइन का सबसे बड़ा मान तब प्राप्त होगा जब अल्फा कोण सीधा हो जाएगा, अर्थात यह 90 ° के बराबर होगा। इस मामले में ज्या एकता के बराबर है। इस प्रकार, कोण की साइन का सबसे छोटा मान हो सकता है - 0 और सबसे बड़ा - 1। कोण के सभी मध्यवर्ती मूल्यों के लिए, साइन एक उचित अंश है।

कोण शून्य होने पर कोण का कोसाइन सबसे बड़ा होगा। इस मामले में, कोसाइन एकता के बराबर है, क्योंकि कोण से सटे पैर और इस मामले में कर्ण एक दूसरे के साथ मेल खाएंगे, और उनके द्वारा दर्शाए गए खंड एक दूसरे के बराबर हैं। जब कोण 90 ° होता है, तो इसका कोसाइन शून्य होता है।

प्रत्यावर्ती धारा को प्रदर्शित करने के ग्राफिकल तरीके

साइनसॉइडल अल्टरनेटिंग करंट या समय के साथ बदलते ईएमएफ को साइन वेव के रूप में प्लॉट किया जा सकता है। इस प्रकार का प्रतिनिधित्व अक्सर इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में प्रयोग किया जाता है। एक साइन लहर के रूप में एक प्रत्यावर्ती धारा के प्रतिनिधित्व के साथ-साथ वैक्टर के रूप में इस तरह के वर्तमान के प्रतिनिधित्व का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

एक वेक्टर एक मात्रा है जिसका एक विशिष्ट अर्थ और दिशा है। यह मान अंत में एक तीर के साथ एक सीधी रेखा खंड के रूप में दर्शाया गया है। तीर को सदिश की दिशा का संकेत देना चाहिए, और एक निश्चित पैमाने पर मापा गया खंड सदिश का परिमाण देता है।

एक अवधि में प्रत्यावर्ती साइनसोइडल करंट के सभी चरणों को निम्नानुसार कार्य करने वाले वैक्टर का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए कि वेक्टर की उत्पत्ति वृत्त के केंद्र में है, और इसका अंत वृत्त पर ही है। यह वामावर्त घूमने वाला वेक्टर वर्तमान परिवर्तन की एक अवधि के अनुरूप समय में एक पूर्ण क्रांति करता है।

आइए हम वेक्टर की उत्पत्ति को परिभाषित करने वाले बिंदु से खींचते हैं, अर्थात, वृत्त O के केंद्र से, दो रेखाएँ: एक क्षैतिज और दूसरी ऊर्ध्वाधर, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है।

यदि इसके अंत से घूमने वाले वेक्टर की प्रत्येक स्थिति के लिए, अक्षर A द्वारा निरूपित किया जाता है, तो हम लंब को एक ऊर्ध्वाधर रेखा तक कम करते हैं, फिर बिंदु O से लंब के आधार तक इस रेखा के खंड हमें तात्कालिक मान देंगे साइनसॉइडल अल्टरनेटिंग करंट, और वेक्टर OA ही एक निश्चित पैमाने पर इस करंट के आयाम को दर्शाता है, यानी इसका उच्चतम मूल्य। ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ खंड Oa को y-अक्ष पर सदिश OA के प्रक्षेपण कहा जाता है।

चावल। 2. एक वेक्टर का उपयोग करके साइनसोइडल वर्तमान परिवर्तन की छवि।

निम्नलिखित निर्माण करके उपरोक्त की वैधता को सत्यापित करना मुश्किल नहीं है। आकृति में वृत्त के पास, आप चर ईएमएफ में परिवर्तन के अनुरूप एक साइन तरंग प्राप्त कर सकते हैं। एक अवधि में, यदि क्षैतिज रेखा पर हम ईएमएफ में परिवर्तन के चरण को निर्धारित करने वाली डिग्री खींचते हैं, और ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊर्ध्वाधर अक्ष पर वेक्टर OA के प्रक्षेपण के परिमाण के बराबर खंडों का निर्माण करते हैं।सर्कल के सभी बिंदुओं के लिए ऐसा निर्माण करने के बाद, जिसके साथ वेक्टर OA स्लाइड का अंत होता है, हम चित्र प्राप्त करते हैं। 3.

वर्तमान परिवर्तन की पूरी अवधि और, तदनुसार, वेक्टर का रोटेशन जो इसका प्रतिनिधित्व करता है, न केवल एक वृत्त की डिग्री में, बल्कि रेडियन में भी दर्शाया जा सकता है।

एक डिग्री का कोण इसके शीर्ष द्वारा वर्णित वृत्त के 1/360 के संगत है। इस या उस कोण को डिग्री में मापने का मतलब है कि मापे गए कोण में इस तरह का प्राथमिक कोण कितनी बार समाहित है।

हालाँकि, कोणों को मापते समय, आप डिग्री के बजाय रेडियन का उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में, जिस इकाई के साथ एक या दूसरे कोण की तुलना की जाती है वह कोण होता है जिससे चाप मेल खाती है, मापा कोण के शीर्ष द्वारा वर्णित प्रत्येक सर्कल के त्रिज्या के बराबर लंबाई।

चावल। 3. हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलते ईएमएफ साइनसॉइड का निर्माण।

इस प्रकार, प्रत्येक वृत्त के अनुरूप कुल कोण, डिग्री में मापा जाता है, 360 ° है। रेडियन में मापा गया यह कोण 2 π — 6.28 रेडियन के बराबर है।

किसी दिए गए क्षण में वेक्टर की स्थिति का अनुमान उसके घूर्णन के कोणीय वेग और उस समय से लगाया जा सकता है जो रोटेशन की शुरुआत के बाद से, यानी अवधि की शुरुआत के बाद से बीत चुका है। यदि हम अक्षर ω (ओमेगा) के साथ वेक्टर के कोणीय वेग को निरूपित करते हैं और अक्षर टी के साथ अवधि की शुरुआत के समय से, तो वेक्टर के रोटेशन के कोण को इसकी प्रारंभिक स्थिति के संबंध में एक उत्पाद के रूप में निर्धारित किया जा सकता है। :

वेक्टर के घूर्णन का कोण इसके चरण को निर्धारित करता है, जो एक या दूसरे से मेल खाता है तात्कालिक वर्तमान मूल्य... इसलिए, रोटेशन कोण या चरण कोण हमें यह अनुमान लगाने की अनुमति देता है कि जिस समय हम रुचि रखते हैं, उस समय तात्कालिक मूल्य क्या है। चरण कोण को अक्सर केवल चरण कहा जाता है।

यह ऊपर दिखाया गया था कि रेडियंस में व्यक्त वेक्टर के पूर्ण घूर्णन का कोण 2π के बराबर है। वेक्टर का यह पूरा रोटेशन एक वैकल्पिक वर्तमान अवधि से मेल खाता है। कोणीय वेग ω को एक अवधि के अनुरूप समय T से गुणा करने पर, हम रेडियन में व्यक्त प्रत्यावर्ती धारा सदिश का पूर्ण घुमाव प्राप्त करते हैं;

इसलिए, यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है कि कोणीय वेग ω बराबर है:

अवधि T को 1 / f के अनुपात से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस गणितीय संबंध के अनुसार कोणीय वेग ω को अक्सर कोणीय आवृत्ति कहा जाता है।

वेक्टर आरेख

यदि एक प्रत्यावर्ती धारा परिपथ में एक धारा कार्य नहीं करती है, लेकिन दो या दो से अधिक, तो उनके पारस्परिक संबंध को रेखांकन द्वारा आसानी से दर्शाया जाता है। विद्युत मात्राओं (वर्तमान, ईएमएफ और वोल्टेज) का चित्रमय प्रतिनिधित्व दो तरीकों से किया जा सकता है। इनमें से एक विधि एक अवधि के दौरान विद्युत मात्रा में परिवर्तन के सभी चरणों को दर्शाने वाले साइनसोइड्स को प्लॉट करना है। इस तरह के एक आंकड़े में, आप देख सकते हैं, सबसे पहले, जांच की गई धाराओं, ईएमएफ के अधिकतम मूल्यों का अनुपात क्या है। और तनाव।

अंजीर में। 4 दो साइनसोइड दिखाता है जो दो अलग-अलग वैकल्पिक धाराओं में परिवर्तन को दर्शाता है। इन धाराओं की एक ही अवधि होती है और चरण में होती है, लेकिन उनके अधिकतम मूल्य अलग-अलग होते हैं।

चावल। 4. चरण में साइनसोइडल धाराएँ।

वर्तमान I1 में वर्तमान I2 की तुलना में अधिक आयाम है। हालाँकि, धाराएँ या वोल्टेज हमेशा चरण में नहीं हो सकते हैं। अक्सर ऐसा होता है कि उनके चरण अलग-अलग होते हैं। ऐसे में उन्हें आउट ऑफ फेज बताया जा रहा है। अंजीर में। 5 दो चरण-स्थानांतरित धाराओं के साइनसोइड दिखाता है।

चावल। 5. धाराओं के साइनसोइड्स को 90 ° से चरण-स्थानांतरित किया गया।

उनके बीच का चरण कोण 90 ° है, जो कि अवधि का एक चौथाई है।आंकड़ा दिखाता है कि वर्तमान I2 का अधिकतम मूल्य वर्तमान I1 के अधिकतम मूल्य की तुलना में अवधि के एक चौथाई से पहले होता है। वर्तमान I2 चरण I1 को एक चौथाई अवधि, यानी 90 ° तक ले जाता है। धाराओं के बीच समान संबंध को सदिशों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।

अंजीर में। 6 समान धाराओं वाले दो वैक्टर दिखाता है। यदि हम याद करते हैं कि सदिशों के घूमने की दिशा को वामावर्त लेने पर सहमति हुई है, तो यह काफी स्पष्ट हो जाता है कि पारंपरिक दिशा में घूमने वाला वर्तमान सदिश I2 वर्तमान सदिश I1 से पहले है। वर्तमान I2 वर्तमान I1 का नेतृत्व करता है। वही चित्र दर्शाता है कि अग्र कोण 90° है। यह कोण I1 और I2 के बीच का चरण कोण है। चरण कोण को अक्षर φ (phi) द्वारा निरूपित किया जाता है। सदिशों का उपयोग करके वैद्युत राशियों को प्रदर्शित करने की इस विधि को सदिश आरेख कहते हैं।

चावल। 6. धाराओं का वेक्टर आरेख, चरण 90 ° से स्थानांतरित हो गया।

वेक्टर आरेख बनाते समय, उन मंडलियों को चित्रित करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है जिनके साथ वैक्टर के सिरे उनके काल्पनिक घुमाव की प्रक्रिया में स्लाइड करते हैं।

वेक्टर आरेखों का उपयोग करते हुए, हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि केवल समान आवृत्ति वाली विद्युत मात्राएँ, अर्थात् वैक्टरों के घूर्णन की समान कोणीय गति, एक आरेख पर दर्शाई जा सकती हैं।