बायोट-सावर्ट कानून और चुंबकीय प्रेरण वेक्टर के संचलन का प्रमेय

1820 में, फ्रांसीसी वैज्ञानिक जीन-बैप्टिस्ट बायोट और फेलिक्स सवार्ड ने प्रत्यक्ष धाराओं के चुंबकीय क्षेत्रों का अध्ययन करने के लिए संयुक्त प्रयोगों के दौरान, स्पष्ट रूप से स्थापित किया कि एक कंडक्टर के माध्यम से बहने वाली प्रत्यक्ष धारा के चुंबकीय प्रेरण को परिणाम माना जा सकता है करंट के साथ इस तार के सभी वर्गों की सामान्य क्रिया। इसका मतलब है कि चुंबकीय क्षेत्र सुपरपोज़िशन के सिद्धांत (क्षेत्रों के सुपरपोज़िशन के सिद्धांत) का पालन करता है।

डीसी तारों के एक समूह द्वारा बनाए गए चुंबकीय क्षेत्र में निम्नलिखित हैं चुंबकीय प्रेरणइसका मान प्रत्येक कंडक्टर द्वारा अलग-अलग बनाए गए चुंबकीय प्रेरणों के वेक्टर योग के रूप में परिभाषित किया गया है। यही है, डायरेक्ट करंट कंडक्टर के इंडक्शन बी को प्राथमिक इंडक्शन dB के वेक्टर योग द्वारा काफी हद तक दर्शाया जा सकता है, जो कि डायरेक्ट करंट कंडक्टर I के प्राथमिक सेक्शन dl से संबंधित है।

प्रत्यक्ष धारा संवाहक के प्राथमिक खंड को अलग करना व्यावहारिक रूप से अवास्तविक है, क्योंकि डी.सी. हमेशा बंद।लेकिन आप एक तार द्वारा निर्मित कुल चुंबकीय प्रेरण को माप सकते हैं, जो कि किसी दिए गए तार के सभी प्राथमिक भागों द्वारा उत्पन्न होता है।

इस प्रकार, बायोट-सोवर का नियम आपको कंडक्टर के खंड (ज्ञात लंबाई dl) के चुंबकीय प्रेरण बी के मूल्य को खोजने की अनुमति देता है, एक दिए गए प्रत्यक्ष वर्तमान I के साथ, कंडक्टर के इस खंड से एक निश्चित दूरी r पर और एक में चयनित खंड से अवलोकन की निश्चित दिशा (कंडक्टर के पास अंतरिक्ष में कंडक्टर के खंड से जांच बिंदु तक वर्तमान की दिशा और दिशा के बीच कोण की साइन के माध्यम से सेट):

यह प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया गया था कि चुंबकीय प्रेरण वेक्टर की दिशा आसानी से दाहिने हाथ के स्क्रू या जिम्बल नियम द्वारा निर्धारित की जाती है: यदि इसके रोटेशन के दौरान जिम्बल के अनुवाद संबंधी आंदोलन की दिशा तार में प्रत्यक्ष वर्तमान I की दिशा से मेल खाती है, तो जिम्बल हैंडल के घूमने की दिशा किसी दिए गए वर्तमान द्वारा उत्पादित चुंबकीय प्रेरण वेक्टर बी की दिशा निर्धारित करता है।

एक सीधे धारावाही तार का चुंबकीय क्षेत्र, साथ ही उस पर बायो-सावर्ट के नियम के अनुप्रयोग का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है:

इसलिए, यदि हम कुल चुंबकीय क्षेत्र में एक निरंतर वर्तमान कंडक्टर के प्रत्येक छोटे खंड के योगदान को एकीकृत करते हैं, अर्थात जोड़ते हैं, तो हमें एक निश्चित त्रिज्या R पर एक वर्तमान कंडक्टर के चुंबकीय प्रेरण को खोजने के लिए एक सूत्र मिलता है। .

उसी तरह, बायो-सावार्ड के नियम का उपयोग करके, आप विभिन्न विन्यासों की प्रत्यक्ष धाराओं से और अंतरिक्ष में कुछ बिंदुओं पर चुंबकीय प्रेरण की गणना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक वर्तमान के साथ एक परिपत्र सर्किट के केंद्र में चुंबकीय प्रेरण द्वारा पाया जाता है। निम्नलिखित सूत्र:

जिम्बल नियम के अनुसार मैग्नेटिक इंडक्शन वेक्टर की दिशा आसानी से पाई जाती है, केवल अब जिम्बल को बंद करंट की दिशा में घुमाया जाना चाहिए, और जिम्बल का फॉरवर्ड मूवमेंट मैग्नेटिक इंडक्शन वेक्टर की दिशा दिखाएगा।

चुंबकीय क्षेत्र के संबंध में अक्सर गणना को सरल किया जा सकता है यदि हम उत्पन्न क्षेत्र द्वारा दी गई धाराओं के विन्यास की समरूपता को ध्यान में रखते हैं। यहां आप चुंबकीय प्रेरण वेक्टर के संचलन के प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं (जैसे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में गॉस प्रमेय)। «चुंबकीय प्रेरण वेक्टर का संचलन» क्या है?

आइए हम अंतरिक्ष में मनमाने आकार के एक निश्चित बंद लूप का चयन करें और सशर्त रूप से इसकी यात्रा की सकारात्मक दिशा का संकेत दें। इस लूप के प्रत्येक बिंदु के लिए, आप उस बिंदु पर स्पर्शरेखा पर चुंबकीय प्रेरण वेक्टर बी का प्रक्षेपण पा सकते हैं। फिर समोच्च के सभी वर्गों की प्राथमिक लंबाई द्वारा इन मात्राओं के उत्पादों का योग इस समोच्च के साथ चुंबकीय प्रेरण वेक्टर बी का संचलन है:

व्यावहारिक रूप से यहां एक सामान्य चुंबकीय क्षेत्र बनाने वाली सभी धाराएं या तो विचाराधीन सर्किट में प्रवेश कर सकती हैं, या उनमें से कुछ इसके बाहर हो सकती हैं। संचलन प्रमेय के अनुसार: एक बंद लूप में प्रत्यक्ष धाराओं के चुंबकीय प्रेरण वेक्टर बी का संचलन संख्यात्मक रूप से चुंबकीय निरंतर mu0 के उत्पाद के बराबर होता है जो लूप में प्रवेश करने वाली सभी प्रत्यक्ष धाराओं के योग से होता है। यह प्रमेय 1826 में आंद्रे मैरी एम्पीयर द्वारा तैयार किया गया था:

उपरोक्त चित्र पर विचार करें। यहां धाराएं I1 और I2 सर्किट में प्रवेश करती हैं, लेकिन उन्हें अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि उनके पास सशर्त रूप से अलग-अलग संकेत हैं।सकारात्मक संकेत में एक करंट होगा जिसकी चुंबकीय प्रेरण की दिशा (मूल नियम के अनुसार) चयनित सर्किट के बायपास की दिशा के साथ मेल खाती है। इस स्थिति के लिए, संचलन प्रमेय रूप लेता है:

सामान्य तौर पर, चुंबकीय प्रेरण वेक्टर बी के संचलन के लिए प्रमेय चुंबकीय क्षेत्र सुपरपोजिशन सिद्धांत और बायोट-सावार्ड कानून से अनुसरण करता है।

उदाहरण के लिए, हम एक दिष्टधारा चालक के चुंबकीय प्रेरण के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं। आइए हम एक वृत्त के रूप में एक समोच्च चुनें, जिसके केंद्र से यह तार गुजरता है, और तार समोच्च के तल के लंबवत है।

इस प्रकार वृत्त का केंद्र सीधे चालक के केंद्र में स्थित होता है, अर्थात चालक में। चूँकि चित्र सममित है, वेक्टर B को वृत्त के स्पर्शरेखा से निर्देशित किया जाता है, और स्पर्शरेखा पर इसका प्रक्षेपण इसलिए हर जगह समान होता है और वेक्टर B की लंबाई के बराबर होता है। संचलन प्रमेय इस प्रकार लिखा जाता है:

इसलिए, प्रत्यक्ष धारा के साथ एक सीधे कंडक्टर के चुंबकीय प्रेरण का सूत्र इस प्रकार है (यह सूत्र पहले ही ऊपर दिया जा चुका है)। इसी तरह, परिसंचरण प्रमेय का उपयोग करके, सममित डीसी कॉन्फ़िगरेशन के चुंबकीय प्रेरणों को आसानी से पाया जा सकता है जहां क्षेत्र रेखाओं की तस्वीर को देखना आसान है।

संचलन प्रमेय के अनुप्रयोग के व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण उदाहरणों में से एक है एक टॉरॉयडल प्रारंभ करनेवाला के अंदर चुंबकीय क्षेत्र का पता लगाना।

मान लीजिए कि डोनट के आकार के कार्डबोर्ड फ्रेम पर घुमावों की संख्या के साथ गोल-गोल एक टॉरॉयडल कॉइल घाव है। इस विन्यास में, डोनट के अंदर चुंबकीय प्रेरण लाइनें संलग्न हैं और आकार में संकेंद्रित (एक दूसरे के भीतर) घेरे हैं। .

यदि आप डोनट के आंतरिक अक्ष के साथ चुंबकीय प्रेरण वेक्टर की दिशा में देखते हैं, तो यह पता चलता है कि वर्तमान को हर जगह दक्षिणावर्त (गिंबल नियम के अनुसार) निर्देशित किया जाता है। कॉइल के अंदर चुंबकीय प्रेरण की एक रेखा (लाल रंग में दिखाई गई) पर विचार करें और इसे त्रिज्या r के एक गोलाकार लूप के रूप में चुनें। तब दिए गए परिपथ के लिए परिसंचरण प्रमेय को इस प्रकार लिखा जाता है:

और कॉइल के अंदर क्षेत्र का चुंबकीय प्रेरण इसके बराबर होगा:

एक पतली टोरॉयडल कॉइल के लिए, जहां चुंबकीय क्षेत्र लगभग पूरे क्रॉस-सेक्शन पर समान होता है, चुंबकीय प्रेरण के लिए अभिव्यक्ति को लिखना संभव है जैसे कि एक असीमित लंबे सोलनॉइड के लिए, प्रति इकाई लंबाई घुमावों की संख्या को ध्यान में रखते हुए - एन :

अब एक असीम रूप से लंबी सोलेनोइड पर विचार करें जहां चुंबकीय क्षेत्र पूरी तरह से अंदर है। हम चयनित आयताकार समोच्च पर संचलन प्रमेय लागू करते हैं।

यहां चुंबकीय प्रेरण वेक्टर केवल 2 तरफ एक गैर-शून्य प्रक्षेपण देगा (इसकी लंबाई एल के बराबर है)। पैरामीटर n - "प्रति इकाई लंबाई में घुमावों की संख्या" का उपयोग करते हुए, हमें संचलन प्रमेय का ऐसा रूप मिलता है, जो अंततः उसी रूप में कम हो जाता है जैसे मल्टीटोनॉय टॉरॉयडल कॉइल के लिए: