एसी सर्किट में गणना के लिए जटिल संख्या का उपयोग क्यों किया जाता है?

जैसा कि आप जानते हैं, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में कुछ विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए जटिल संख्याओं का उपयोग किया जाता है। लेकिन इनका उपयोग किस लिए किया जाता है और ऐसा क्यों किया जाता है? इस लेख के दौरान हम यही समझने की कोशिश करेंगे। तथ्य यह है कि जटिल एसी सर्किट की गणना के लिए जटिल विधि या जटिल आयाम की विधि सुविधाजनक है। और शुरू करने के लिए, आइए गणित के कुछ मूल सिद्धांतों को याद करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, जटिल संख्या z में काल्पनिक भाग और वास्तविक भाग शामिल हैं, जो एक दूसरे से भिन्न होते हैं और पाठ में अलग-अलग रूप से निरूपित होते हैं। सम्मिश्र संख्या z स्वयं को बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय या घातीय रूप में लिखा जा सकता है:

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

ऐसा माना जाता है कि काल्पनिक संख्याओं का विचार 1545 में शुरू हुआ, जब इतालवी गणितज्ञ, इंजीनियर, दार्शनिक, चिकित्सक और ज्योतिषी गिरोलामो कार्डानो ने अपने ग्रंथ "द ग्रेट आर्ट" में समीकरणों को हल करने की इस पद्धति को प्रकाशित किया, जहां, दूसरों के बीच में , उन्होंने स्वीकार किया कि इस काम के प्रकाशन से 6 साल पहले निकोलो ने टार्टाग्लिया (एक इतालवी गणितज्ञ) को यह विचार दिया था। अपने काम में, क्रैडानो फॉर्म के समीकरणों को हल करता है:

इन समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में, वैज्ञानिक को कुछ "अवास्तविक" संख्या के अस्तित्व को स्वीकार करने के लिए मजबूर किया गया था, जिसका वर्ग माइनस एक «-1» के बराबर होगा, जैसे कि एक वर्गमूल है ऋणात्मक संख्या, और यदि इसे अब वर्ग किया जाता है, तो यह मूल के अंतर्गत संबंधित ऋणात्मक संख्या बन जाएगी। कार्डानो ने गुणन का नियम बताया, जिसके अनुसार:

तीन शताब्दियों के लिए, गणितीय समुदाय कार्डानो द्वारा प्रस्तावित नए दृष्टिकोण के अभ्यस्त होने की प्रक्रिया में था। काल्पनिक संख्याएँ धीरे-धीरे जड़ें जमा रही हैं, लेकिन गणितज्ञ स्वीकार करने से हिचक रहे हैं। यह बीजगणित पर गॉस के कार्यों के प्रकाशन तक नहीं था, जहां उन्होंने बीजगणित के मौलिक प्रमेय को सिद्ध किया, कि जटिल संख्याएं अंततः पूरी तरह से स्वीकार की गईं, 19वीं सदी हाथ में थी।

गणितज्ञों के लिए काल्पनिक संख्याएँ एक वास्तविक जीवन रक्षक बन गईं क्योंकि काल्पनिक संख्याओं के अस्तित्व को स्वीकार करने से सबसे जटिल समस्याएँ हल करना बहुत आसान हो गया।

इसलिए यह जल्द ही इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में आ गया। एसी सर्किट कभी-कभी बहुत जटिल होते थे और उनकी गणना करने के लिए कई इंटीग्रल की गणना करनी पड़ती थी, जो अक्सर बहुत असुविधाजनक होती थी।

अंत में, 1893 में, शानदार इलेक्ट्रिकल इंजीनियर कार्ल अगस्त स्टीनमेट्ज़ ने शिकागो में इंटरनेशनल इलेक्ट्रोटेक्निकल कांग्रेस में एक रिपोर्ट "कॉम्प्लेक्स नंबर्स एंड देयर एप्लीकेशन इन इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग" के साथ बात की, जिसने वास्तव में इंजीनियरों द्वारा जटिल पद्धति के व्यावहारिक अनुप्रयोग की शुरुआत को चिह्नित किया। एसी करंट के लिए इलेक्ट्रिक सर्किट की गणना।

यह हम भौतिकी पाठ्यक्रम से जानते हैं प्रत्यावर्ती धारा - यह एक ऐसी धारा है जो समय के साथ परिमाण और दिशा दोनों में बदलती है।

प्रौद्योगिकी में, प्रत्यावर्ती धारा के विभिन्न रूप हैं, लेकिन सबसे आम आज प्रत्यावर्ती साइनसोइडल धारा है, यही वह है जो हर जगह उपयोग की जाती है, जिसकी मदद से विद्युत का संचार होता है, प्रत्यावर्ती धारा के रूप में, जो उत्पन्न होती है, परिवर्तित होती है ट्रांसफार्मर और भार से खपत होती है। साइनसोइडल करंट समय-समय पर साइनसॉइडल (हार्मोनिक) कानून के अनुसार बदलता रहता है।

वर्तमान और वोल्टेज के प्रभावी मूल्य दो बार की जड़ के आयाम मूल्यों से कम हैं:

जटिल विधि में, धाराओं और वोल्टेज के प्रभावी मान निम्नानुसार लिखे गए हैं:

ध्यान दें कि इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, काल्पनिक इकाई को अक्षर «j» द्वारा निरूपित किया जाता है, क्योंकि अक्षर «i» पहले से ही वर्तमान को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

से ओम कानून प्रतिरोध का जटिल मान निर्धारित करता है:

जटिल मूल्यों का जोड़ और घटाव बीजगणितीय रूप में किया जाता है, और गुणन और विभाजन घातीय रूप में किया जाता है।

आइए मुख्य मापदंडों के कुछ मूल्यों के साथ एक विशिष्ट सर्किट के उदाहरण का उपयोग करके जटिल आयामों की विधि पर विचार करें।

जटिल संख्याओं का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण

दिया गया:

• कॉइल वोल्टेज 50 वी,

• प्रतिरोधक प्रतिरोध 25 ओम,

• कुंडल अधिष्ठापन 500 एमएच,

• संधारित्र की विद्युत क्षमता 30 माइक्रोफ़ारड है,

• कुंडल प्रतिरोध 10 ओम,

• साधन आवृत्ति 50 हर्ट्ज।

ढूँढ़ें: एमीटर और वाल्टमीटर रीडिंग के साथ-साथ वाटमीटर भी।

उत्तर:

आरंभ करने के लिए, हम श्रृंखला से जुड़े तत्वों के जटिल प्रतिरोध को लिखते हैं, जिसमें वास्तविक और काल्पनिक भाग होते हैं, फिर हम एक सक्रिय-आगमनात्मक तत्व का जटिल प्रतिरोध पाते हैं।

याद आती! घातीय रूप प्राप्त करने के लिए, वास्तविक और काल्पनिक भागों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर मापांक z और वास्तविक भाग द्वारा विभाजित काल्पनिक भाग के भागफल के चापस्पर्श के बराबर phi का पता लगाएं।

तब हम करंट पाते हैं और, तदनुसार, एमीटर की रीडिंग:

तो एमीटर 0.317 A का करंट दिखाता है - जो कि पूरी श्रृंखला सर्किट के माध्यम से करंट है।

अब हम संधारित्र का संधारित्र प्रतिरोध ज्ञात करेंगे, फिर हम इसके जटिल प्रतिरोध का निर्धारण करेंगे:

फिर हम इस सर्किट के कुल जटिल प्रतिबाधा की गणना करते हैं:

अब हम सर्किट पर लागू प्रभावी वोल्टेज पाते हैं:

वाल्टमीटर 19.5 वोल्ट का प्रभावी वोल्टेज दिखाएगा।

अंत में, हम वर्तमान और वोल्टेज के बीच के चरण अंतर को ध्यान में रखते हुए, वाटमीटर द्वारा प्रदर्शित की जाने वाली शक्ति का पता लगाते हैं

वाटमीटर 3.51 वाट दिखाएगा।

अब आप समझ गए होंगे कि इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में जटिल संख्याएँ कितनी महत्वपूर्ण हैं। उनका उपयोग विद्युत सर्किट की सुविधाजनक गणना के लिए किया जाता है। कई इलेक्ट्रॉनिक मापने वाले उपकरण एक ही आधार पर काम करते हैं।