संख्या प्रणाली

एक संख्या प्रणाली विभिन्न संख्यात्मक संकेतों का उपयोग करके संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए नियमों का एक समूह है। संख्या प्रणालियों को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है: गैर-स्थितीय और स्थितीय।

स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्रत्येक अंक का मान उस स्थिति पर निर्भर नहीं करता है, जो उस स्थान पर होती है, जो अंकों के सेट में होती है। रोमन अंक प्रणाली में, केवल सात अंक होते हैं: एक (I), पाँच (V), दस (X), पचास (L), एक सौ (C), पाँच सौ (D), एक हज़ार (M)। इन संख्याओं (प्रतीकों) का प्रयोग करके शेष संख्याओं को जोड़ और घटाकर लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, IV संख्या 4 (V - I) का अंकन है, VI संख्या 6 (V + I) है, और इसी तरह। संख्या 666 रोमन प्रणाली में इस प्रकार लिखी गई है: DCLXVI।

यह संकेतन हमारे द्वारा वर्तमान में उपयोग किए जाने वाले संकेतन से कम सुविधाजनक है। यहां छह को एक चिन्ह (VI), छह दसियों को दूसरे (LX), छह सौ और तीसरे (DC) से लिखा जाता है। रोमन अंक प्रणाली में लिखी संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ करना बहुत कठिन है। इसके अलावा, गैर-स्थितीय प्रणालियों का एक सामान्य नुकसान उनमें बड़ी संख्या में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने की जटिलता है, जिसके परिणामस्वरूप बेहद बोझिल अंकन होता है।

अब स्थितीय संख्या प्रणाली में समान संख्या 666 पर विचार करें। इसमें एक चिह्न 6 का अर्थ है यदि यह अंतिम स्थान पर है, तो दहाई की संख्या यदि यह अंतिम स्थान पर है, और यदि यह अंत से तीसरे स्थान पर है तो सैकड़ों की संख्या है। संख्या लिखने के इस सिद्धांत को स्थितीय (स्थानीय) कहा जाता है। ऐसी रिकॉर्डिंग में, प्रत्येक अंक न केवल उसकी शैली के आधार पर एक संख्यात्मक मान प्राप्त करता है, बल्कि यह भी कि संख्या लिखे जाने पर वह कहाँ खड़ा होता है।

स्थितीय संख्या प्रणाली में, A = +a1a2a3 … ann-1an के रूप में प्रदर्शित किसी भी संख्या को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है

जहाँ n — किसी संख्या की छवि में अंकों की परिमित संख्या, ii संख्या i-go अंक, d — संख्या प्रणाली का आधार, i — श्रेणी की क्रमिक संख्या, dm-i — i-ro श्रेणी का "भार" . अंक ai को असमानता 0 <= a <= (d - 1) को संतुष्ट करना चाहिए।

दशमलव अंकन के लिए, d = 10 और ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9।

चूँकि एक और शून्य से मिलकर बनी संख्याएँ एक साथ उपयोग किए जाने पर दशमलव या बाइनरी संख्या के रूप में मानी जा सकती हैं, संख्या प्रणाली का आधार आमतौर पर इंगित किया जाता है, उदाहरण के लिए (1100)2-बाइनरी, (1100)10-दशमलव।

डिजिटल कंप्यूटर में, दशमलव के अलावा अन्य प्रणालियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: बाइनरी, ऑक्टल और हेक्साडेसिमल।

बायनरी सिस्टम

इस प्रणाली के लिए d = 2 और यहाँ केवल दो अंकों की अनुमति है, यानी ai = 0 या 1।

बाइनरी सिस्टम में व्यक्त किसी भी संख्या को आधार की शक्ति के उत्पाद के योग के रूप में दो बार दिए गए बिट के बाइनरी अंक के रूप में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 101.01 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, जो दशमलव प्रणाली में संख्या के अनुरूप है: 4 + 1 + 0.25 = 5.25।

अधिकांश आधुनिक डिजिटल कंप्यूटरों में, मशीन में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने और उन पर अंकगणितीय संचालन करने के लिए बाइनरी संख्या प्रणाली का उपयोग किया जाता है।

बाइनरी नंबर सिस्टम, दशमलव एक की तुलना में, अंकगणित डिवाइस और मेमोरी डिवाइस के सर्किट और सर्किट को सरल बनाना और कंप्यूटर की विश्वसनीयता बढ़ाना संभव बनाता है। बाइनरी नंबर के प्रत्येक बिट का अंक ट्रांजिस्टर, डायोड जैसे तत्वों के "चालू / बंद" राज्यों द्वारा दर्शाया जाता है, जो "चालू / बंद" राज्यों में मज़बूती से काम करते हैं। बाइनरी सिस्टम के नुकसान में एक विशेष प्रोग्राम के अनुसार मूल डिजिटल डेटा को बाइनरी नंबर सिस्टम में अनुवाद करने की आवश्यकता और दशमलव में निर्णय के परिणाम शामिल हैं।

अष्टक संख्या प्रणाली

इस प्रणाली का आधार d == 8 है। संख्याओं का उपयोग संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7।

कंप्यूटर में अष्टक संख्या प्रणाली का उपयोग मशीन के संचालन की जाँच करने और प्रोग्राम को डीबग करने में (प्रोग्रामिंग प्रक्रिया में) हल करने के लिए समस्याओं को तैयार करने में सहायता के रूप में किया जाता है। यह प्रणाली बाइनरी प्रणाली की तुलना में संख्या का एक छोटा प्रतिनिधित्व देती है। ऑक्टल नंबर सिस्टम आपको केवल बाइनरी सिस्टम पर स्विच करने की अनुमति देता है।

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली

इस प्रणाली का आधार d = 16 है। संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए 16 वर्णों का उपयोग किया जाता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, और अक्षर A … F दशमलव संख्या 10, 11, 12, 13, 14 और 15 का प्रतिनिधित्व करता है। हेक्साडेसिमल संख्या (1D4F) 18 दशमलव 7503 के अनुरूप होगी क्योंकि (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

हेक्साडेसिमल नोटेशन बाइनरी नंबरों को ऑक्टल की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट रूप से लिखे जाने की अनुमति देता है। यह कुछ कंप्यूटरों के इनपुट और आउटपुट डिवाइस और नंबर ऑर्डर डिस्प्ले डिवाइस में एप्लिकेशन ढूंढता है।

बाइनरी-दशमलव संख्या प्रणाली

बाइनरी-डेसिमल सिस्टम में संख्याओं का प्रतिनिधित्व इस प्रकार है। किसी संख्या के दशमलव अंकन को आधार मानकर उसके प्रत्येक अंक (0 से 9 तक) को एक चार अंकों वाली बाइनरी संख्या के रूप में लिखा जाता है, जिसे टेट्राड कहा जाता है, अर्थात निरूपित करने के लिए एक चिह्न का उपयोग नहीं किया जाता है। दशमलव प्रणाली का प्रत्येक अंक, लेकिन चार।

उदाहरण के लिए, दशमलव 647.59 बीसीडी 0110 0100 0111, 0101 1001 के अनुरूप होगा।

बाइनरी-दशमलव संख्या प्रणाली का उपयोग मध्यवर्ती संख्या प्रणाली के रूप में और इनपुट और आउटपुट संख्याओं को एन्कोडिंग के लिए किया जाता है।

एक संख्या प्रणाली को दूसरे में स्थानांतरित करने के नियम

कंप्यूटर उपकरणों के बीच सूचनाओं का आदान-प्रदान मुख्य रूप से बाइनरी नंबर सिस्टम में प्रदर्शित संख्याओं के माध्यम से किया जाता है। हालांकि, जानकारी दशमलव प्रणाली में संख्या में उपयोगकर्ता को प्रस्तुत की जाती है, और ऑक्टल सिस्टम में कमांड एड्रेसिंग प्रस्तुत की जाती है। इसलिए कंप्यूटर के साथ काम करने की प्रक्रिया में नंबरों को एक सिस्टम से दूसरे सिस्टम में ट्रांसफर करने की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित सामान्य नियम का उपयोग करें।

एक पूर्ण संख्या को किसी भी संख्या प्रणाली से दूसरे में बदलने के लिए, इस संख्या को नई प्रणाली के आधार से क्रमिक रूप से विभाजित करना आवश्यक है जब तक कि भाजक भाजक से कम न हो। नई प्रणाली में संख्या को विभाजन के अवशेषों के रूप में लिखा जाना चाहिए, जो कि अंतिम से शुरू होता है, यानी दाएं से बाएं।

उदाहरण के लिए, दशमलव 1987 को बाइनरी में बदलें:

द्विआधारी प्रारूप में दशमलव संख्या 1987 11111000011 है, अर्थात। (1987)10 = (11111000011)2

किसी भी प्रणाली से दशमलव में बदलते समय, संख्या को संबंधित गुणांकों के साथ आधार की शक्तियों के योग के रूप में दर्शाया जाता है, और फिर योग के मान की गणना की जाती है।

उदाहरण के लिए, ऑक्टल संख्या 123 को दशमलव में बदलें: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, यानी। (123)8 = (83)10

किसी संख्या के भिन्नात्मक भाग को किसी भी प्रणाली से दूसरे में स्थानांतरित करने के लिए, इस अंश के क्रमिक गुणन और उत्पाद के परिणामी भिन्नात्मक भागों को नई संख्या प्रणाली के आधार पर करना आवश्यक है। नई प्रणाली में किसी संख्या का आंशिक भाग पहले से शुरू होने वाले परिणामी उत्पादों के पूरे भागों के रूप में बनता है। गुणन प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि दी गई सटीकता वाली संख्या की गणना नहीं की जाती।

उदाहरण के लिए, आइए दशमलव अंश 0.65625 को बाइनरी नंबर सिस्टम में बदलें:

चूंकि पांचवें गुणनफल के भिन्नात्मक भाग में केवल शून्य होते हैं, इसलिए और गुणा करना अनावश्यक है। इसका अर्थ है कि दिया गया दशमलव बिना त्रुटि के बाइनरी में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात। (0.65625)10 = (0.10101)2.

ऑक्टल और हेक्साडेसिमल से बाइनरी और इसके विपरीत रूपांतरण करना मुश्किल नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि उनके आधार (डी-8 और डी-16) दो (23 = 8 और 24 = 16) के पूर्णांक के अनुरूप हैं।

ऑक्टल या हेक्साडेसिमल संख्याओं को बाइनरी में बदलने के लिए, उनकी प्रत्येक संख्या को क्रमशः तीन या चार अंकों के बाइनरी नंबर से बदलना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आइए ऑक्टल नंबर (571)8 और हेक्साडेसिमल नंबर (179)16 को बाइनरी नंबर सिस्टम में ट्रांसलेट करें।

दोनों ही स्थितियों में हमें एक ही परिणाम मिलता है, अर्थात् (571)8 = (179)16 = (101111001)2

किसी संख्या को बाइनरी-दशमलव से दशमलव में बदलने के लिए, आपको बाइनरी-दशमलव में दर्शाई गई संख्या के प्रत्येक टेट्राड को दशमलव में दर्शाए गए अंक से बदलना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 को दशमलव संकेतन में लिखते हैं, अर्थात (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)